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士兵追乌龟，一个关于数的连续性的悖论
这是著名的阿吉利斯悖论。阿基米德的龟兔赛跑悖论，又称阿吉利斯悖论，是说阿基米德和一只乌龟赛跑，乌龟在阿基米德前面100米的地方，乌龟的速度是1m/s，阿基米德的速度是10m/s，阿基米德追的上乌龟吗阿基米德跑完100米的时候，乌龟又跑了10米，阿基米德跑完余下的10米，乌龟又跑了1米，按这样推理，乌龟始终都会领先阿基米德。其实这是一种诡辩，学过无穷等比数列，就能知道乌龟领先的时间其实是有限的。这个悖论的原因在于当时对于极限缺乏进一步的理解，认为没有最小的距离，同时也没有考虑到量子理论。实际上，考虑到量子理论，在长度上是有着最小的单位长度的，即普朗克长度（约为1.6x10的-35次方米）。当将两人间距离无限缩小至普朗克长度时，距离无法再行进一步缩小。下一个瞬间之后，龟兔将位于同一位置。再下一瞬间，兔子将超过乌龟。此佯谬在量子理论下已不再是谬论。
详解阿喀琉斯追龟辩
简单的解释就是说时间是延续的，不能被无限的切割，版主不妨这样想，乌龟说的不过是阿喀琉斯超过他那一瞬间的近似值，如果换个角度算当阿喀琉斯跑了两百米，乌龟可以跑到几米？所以这个追龟辩是错误的论断。
详细的较为深奥具体地说在数学上这就是个无穷级数的问题。
“阿喀琉斯追不上乌龟”的结论，论证前提是无穷段时间相加，或者无穷段路程相加，必定是达不到的。也就是说所谓芝诺悖论就是认为无穷个数相加应该是无穷大。
然而我们知道，无穷段时间相加可以是收敛的，也就是可以做到无穷个正数相加的结果仍然是有限数。幸运的是，在芝诺悖论中的情形就是如此：各段时间（或者路程）在这里成一个等比数列，它们的无穷和是收敛的。
关于等比级数的结果，早在古希腊时候就有了。在微积分创立后，则在数学分析的背景下有了更加形式化的表达。在十九世纪数学分析基础严密化后，这样的级数问题就可以说是“天衣无缝”了。
不过，再深入一点，或者说更本质一点，要彻底解决芝诺悖论，实际上还要首先承认“无穷”的存在。或者说，承认“无穷”是可以达到的。
这个无穷，不是画一根直线，想象它要多长就可以延长多长，有些无限延长的“潜力”——这个叫“潜无穷”。这里必须要承认的，叫“实无穷”，即必须承认无穷作为一个整体的存在性。比如圆周率写成十进制小数有无穷多位数，但这无穷多位数合在一起才表示一个完整的数。
承认实无穷是一个哲学命题，早在古希腊时候就有人讨论了，如大名鼎鼎的欧几里德就不承认实无穷的存在，只承认潜无穷。后世的人也不断讨论，这个问题在康托时基本得到完满的解决，康托承认实无穷的存在，并给出了无穷的各种性质——这些事就发生在十九世纪末到二十世纪初。
需要指出的是，现代数学的框架是建立在承认实无穷的基础之上的，没有实无穷，我们甚至连实数也不能谈。而这个问题现在应该说是没有争论了的，“阿喀琉斯追不上乌龟”是个错误的论断，“芝诺悖论”已经消除。
历史上著名的四大悖论
一、色盲悖论
此时一个至关重要的问题来了：你如何证明你不是具有这种奇怪色盲症的人呢？会不会他们看到的世界才是世界真正的样子呢？
二、上帝悖论
智者最终得到了和教廷完全相反的结论——上帝并非万能的
三、费米悖论
因此可以认为宇宙中的智慧文明数量是稀少的，或者说人类对智慧文明行为和思维方式的判断是错误的。
四、祖父悖论
即若小明回到过去，在自己父亲还未出世时杀死了自己的祖父所引起的一系列矛盾。
悖论龟是什么
悖论龟是一种哥德尔的不完备性定理的生动寓言，它蕴含了自指的悖论，表现为一个假设“我说的话是假的”这个语句，究竟是真还是假的问题。在逻辑上产生了悖论，导致了无法确定其真假的矛盾。如果对悖论的深入研究，还能引申出对数理逻辑、哲学和语言学等领域的许多探讨。
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